2.1.1.1 Propriétés de base de ${\mathbb{N}}$

Nous admettons l'existence d'un ensemble, noté ${\mathbb{N}}$, appelé ensemble des entiers naturels, muni de deux opérations^2.1, l'addition et la multiplication :
L'addition associe à $a \in {\mathbb{N}}$ et $b \in {\mathbb{N}}$ un élément de ${\mathbb{N}}$ noté $a+b$, et vérifie les propriétés suivantes :

Commutativité : $a+b=b+a$

Associativité : $a+(b+c)=(a+b)+c$ qu'on note donc $a+b+c$.

Élément neutre : Il existe un unique élément de ${\mathbb{N}}$, noté 0, tel que $\forall a\in{\mathbb{N}}$, $0+a=a+0=a$.

La multiplication associe à $a \in {\mathbb{N}}$ et $b \in {\mathbb{N}}$ un élément de ${\mathbb{N}}$ noté $a.b$ ou $a \times b$ ou simplement $ab$, et on a :

Commutativité : $a.b=b.a$

Associativité : $a.(b.c)=(a.b).c$ qu'on note donc $a.b.c$.

Élément unité : Il existe un élément de ${\mathbb{N}}$ unique, noté 1, tel que $\forall a\in{\mathbb{N}}$, $1.a=a.1=a$.

De plus, la multiplication est distributive par rapport à l'addition :

Distributivité : $a.(b+c)=a.b+a.c$ (voir la note 6)

${\mathbb{N}}$ est muni d'une relation d'ordre définie par :

$a \leqslant b \stackrel {d\acute{e}f}{\Longleftrightarrow} \exists n \in {\mathbb{N}}, b = a + n$^2.2

On note $a < b$ la relation $a \leqslant b$ et $a \neq b$.
Cette relation vérifie les propriérés suivantes :

$a \leqslant a$

$a \leqslant b$ et $b \leqslant a \Longrightarrow a = b$

$a \leqslant b$ et $b \leqslant c \Longrightarrow a \leqslant c$

Tout sous-ensemble non vide de ${\mathbb{N}}$ a un plus petit élément.

${\mathbb{N}}$ n'a pas de plus grand élément.