2.4.2 Définitions et représentation géométrique

Définition 2.4.1 (Nombres complexes)

On appelle nombre complexe un couple $$\binom{x}{y}$$ de nombres réels. On note ${\mathbb{C}}$ l'ensemble des nombres complexes. On a donc $\mathbb{C}=\mathbb{R}$$^2$^2.16.

Commentaire : Avec cette définition, un nombre complexe $$z=\binom{x}{y} \in \mathbb{C}$$ n'est donc rien d'autre qu'un vecteur (libre) $$\vec z= \binom{x}{y}$$ du plan ${\mathbb{R}}$$^2$ (on note les vecteurs en colonne pour utiliser les notations du calcul matriciel), ou encore un point $$M=\binom{x}{y}$$ de ${\mathbb{R}}$$^2$.

On préfère habituellement faire la distinction entre le nombre complexe $$z=\binom{x}{y}$$, le point $$M=\binom{x}{y}\in {\mathbb{R}}$$$^2$ et le vecteur $$\vec z= \binom{x}{y}\in {\mathbb{R}}$$$^2$. Pour cela $z \in {\mathbb{C}}$ s'appelle l'affixe de $M$ et de $\vec z$. $M$ s'appelle l'image et $\vec z$ le vecteur image de $z$. L'affixe d'un point ou d'un vecteur s'écrit entre parenthèses, à droite de ce point ou de ce vecteur.

Définition 2.4.2 (Addition des nombres complexes)

Pour $$\binom{x}{y} \in {\mathbb{C}}$$ et $$\binom{x'}{y'} \in {\mathbb{C}}$$ on définit leur somme par :

$$\binom{x}{y} + \binom{x'}{y'} \stackrel{d\acute ef}{=} \binom{x+x'}{y+y'}$$

Cette définition n'est rien d'autre que la définition de la somme de deux vecteurs par la règle du parallélogramme, dont la justification - expérimentale - vient de l'étude de la résultante de deux forces.

La définition de la multiplication qui suit n'a plus rien à voir quant à elle avec la géométrie ou la mécanique. Elle est directement issue du problème algébrique initial : résoudre les équations du second degré sans racines reéelles.

Définition 2.4.3 (multiplication des complexes)
Pour $$\binom{x}{y} \in {\mathbb{C}}$$ et $$\binom{x'}{y'} \in {\mathbb{C}}$$ on définit leur produit par :

$$\binom{x}{y} .\binom{x'}{y'} \stackrel{d\acute ef}{=} \binom{xx'-yy'}{xy'+x'y}$$

Appliquant ces définitions aux nombres complexes de la forme $$\binom{x}{0}$$ pour $x \in {\mathbb{R}}$ on obtient :

$$\binom{x}{0} + \binom{x'}{0} = \binom{x+x'}{0}$$    et $$\binom{x}{0} .\binom{x'}{0}=\binom{xx'}{0}$$

On retrouve, sur la première composante, l'addition et la multiplication des réels. Si on identifie $x \in {\mathbb{R}}$ avec $$\binom{x}{0}$$ l'addition et la multiplication dans ${\mathbb{C}}$ prolongent celles de ${\mathbb{R}}$. On posera donc

$$\boxed{\text{pour } x \in {\mathbb{R}},\:x=\binom{x}{0} \in {\mathbb{C}}}$$

On a alors ${\mathbb{R}} \subset {\mathbb{C}}$. De plus

$$x=\binom{x}{0} = x.\binom{1}{0}$$

$$\binom{0}{y} = y.\binom{0}{1}$$ (2.3)

et donc

$$\binom{x}{y} = \binom{x}{0}+\binom{0}{y}$$

$$= x.\binom{1}{0}+y.\binom{0}{1}$$

ce qui n'est qu'une réécriture de

$$\displaystyle \vec z=\binom{x}{y}=x\vec u+y\vec v$$

où $$\vec u=\binom{1}{0},\:\vec v=\binom{0}{1}$$ sont les vecteurs de la base canonique de ${\mathbb{R}}$$^2$.

En posant $\boxed{\displaystyle i=\binom{0}{1}}$ on obtient donc pour $z \in {\mathbb{C}}$ $\boxed{\displaystyle z=\binom{x}{y}=x+y.i}$

$x$ s'appelle la partie réelle de $z=x+y.i$ et se note $\mathcal{R}e(z)$

$y$ s'appelle la partie imaginaire de $z=x+y.i$ et se note $\mathcal{I}m(z)$

Si $\mathcal{I}m(z)$ est nul, $z$ est réel. Si $\mathcal{R}e(z)$ est nul, on dit que $z$ est imaginaire pur. Deux nombres complexes $z=x+y.i$ et $z'=x'+y'.i$ sont égaux SSI $x=x'$ et $y=y'$ : c'est la définition de l'égalité de deux couples.

On a $\boxed{\displaystyle i^2=-1}$ et

$$\boxed{(x+y.i)+(x'+y'.i)=(x+x')+(y+y').i}$$

$$\boxed{(x+y.i).(x'+y'.i)=(xx'-yy')+(xy'+x'y).i}$$

^2.18

Les sommes et les produits se calculent donc comme dans ${\mathbb{R}}$ en remplaçant $i^2$ par -1.

Exercice 2..11
Démontrez les formules 2.3