1.2.1 Définitions

Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments de l'ensemble. Si $a$ est un élement de l'ensemble $E$ on écrit

$a \in E\$   ou$\ E \ni a$

ce qui se lit « $a$ appartient à $E$ » ou « $E$ contient l'élement $a$'' ou « a est un élément de E ». On note «  $a \not\in E$ » la négation de « $a \in E\$ ».

Ceci n'est évidemment pas une définition correcte : un ensemble est une collection, une collection est un ensemble... Qu'est-ce qu'un objet élément d'un ensemble ? En fait, les ensembles sont les objets dont on s'occupe en mathématiques,^1.15 comme les propositions sont les objets dont on s'occupe en logique, les termes primitifs de la théorie. Nous en resterons à un niveau plus terre à terre.

On peut se réprésenter un ensemble comme une liste d'objets, ou comme une boîte contenant des objets ; mais ceci ne remplace pas une définition correcte.

Un ensemble est défini :

1. Par la liste de ses éléments (on dit en extension). On note alors $\{a_1,a_2,\ldots\}$, par exemple $E=\{2,3,5,7,11\}$, $E_1=\{3,4,5,\ldots\}$
2. Par une propriété caractérisant ses éléments (on dit en compréhension). On note alors {x/x vérifie p}, ce qui se lit « l'ensemble des x vérifiant p », ou « l'ensemble des x tels que p soit vraie », par exemple
   $F=\{x /x\$   est un entier positif, premier, et$\ x \leqslant 12\}$.

Axiome 1.2.1 (Égalité)
Il existe une relation entre ensembles, appelée égalité, notée $E=F$, vérifiant :

1. $\ E = E$
2. $(E=F) \Longrightarrow (F=E)$ est vraie.
3. $(E=F\ et\ F=G) \Longrightarrow (E=G)$ est vraie.

Intuitivement, deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments.

Exemples :

1. Les ensembles $E=\{2,3,5,7,11\}$ et $F=\{x\in E/x\$   est un entier positif, premier, et$\ x \leqslant 12\}$ sont égaux.
2. $\{1,2,3,2\}=\{1,2,3\}$ : ce n'est pas parce qu'un élément est cité deux fois dans la liste que le contenu de la boîte change.

Définition 1.2.1 (Ensemble vide)
Il existe un ensemble appelé ensemble vide, noté $\emptyset$^1.16, qui ne contient aucun élément.^1.17

L'ensemble vide peut se représenter par une boîte vide.

Définition 1.2.2 (ensemble à un ou deux éléments)
L'ensemble dont le seul élément est a s'appelle l'ensemble réduit à a, ou le singleton a et se note {a}. L'ensemble dont les éléments sont a,b ($a\neq b$) se note {a,b}.

Exemples :

1. {$\emptyset$} à ne pas confondre avec $\emptyset$ : une boîte contenant une boîte vide contient un élément.
2. $\{\{\emptyset\}\}$ : une boîte contenant une boîte contenant une boîte vide.
3. $\{\{\{\emptyset\}\}\}$ : une boîte contenant une boîte contenant une boîte contenant une boîte vide.
4. $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ : une boîte contenant :

   une boîte vide

   une boîte contenant une boîte vide.

Les deux « définitions » précédentes permettent déjà de définir bon nombre d'ensembles.^1.18 Il manque plusieurs axiomes, en particulier l'axiome de l'infini, qui affirme qu'il existe un ensemble infini.